行列指数関数の公式

数学

行列指数関数の公式をいつも忘れるので，ここに書き留めておく．

ブロック行列
{ \displaystyle A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12}\\0&A_{22} \end{bmatrix} }
に対して，
{ \displaystyle e^{At} = \begin{bmatrix} e^{A_{11}t} & \int_0^t e^{A_{11}(t-\tau)}A_{12}e^{A_{22}\tau}\mathrm{d}\tau\\0&e^{A_{22}t} \end{bmatrix} }
が成り立つ．

この公式の重要なことは，右辺右上に行列指数関数の積分がでてくることである．
このかたちの積分はいろいろなところで現れる．たとえば，連続時間線形システム
{\displaystyle \dot x = Ax+Bu }
を入力をゼロ次ホールドして得られる離散時間システム
{\displaystyle x_{k+1} = A_dx_k + B_du_k }
について，
{\displaystyle A_d = e^{AT}, \quad B_d = \int_0^T e^{A(T-\tau)}B\mathrm{d}\tau }
とかける．ただし， Tはサンプリング周期である．これらの行列は，ブロック行列
{ \displaystyle M = \begin{bmatrix} A & B\\0&0 \end{bmatrix} }
に対する行列指数関数 e^{MT}の部分行列（左上と右上）である．

システム制御のための数学〈1〉線形代数編 (システム制御工学シリーズ)

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